熱電偶級聯(lián)系統動(dòng)態(tài)性能評估方法

摘要：為了在缺乏激勵信號先驗知識的情況下實(shí)現熱電偶動(dòng)態(tài)性能評估，提出一種由三只不同偶絲直徑熱電偶組成的級聯(lián)式溫度測試系統的時(shí)間常數評估方法。該方法基于總體最小二乘Tikhonov正則化算法對熱電偶級聯(lián)系統數學(xué)模型進(jìn)行辨識及時(shí)間常數解算。對于熱電偶偶絲直徑較為接近的測試系統，基于奇異值分解進(jìn)行正則化方法優(yōu)化，可以避免熱電偶信息矩陣共線(xiàn)性造成的時(shí)間常數病態(tài)估計，有效拓展了該方法的適用性。通過(guò)數值仿真進(jìn)行了理論驗證，并在一種氣體溫度動(dòng)態(tài)校準裝置中進(jìn)行了實(shí)驗驗證，結果表明奇異值分解正則化時(shí)間常數估計方法相比總體最小二乘Tikhonov正則化算法和普通最小二乘算法，辨識精度分別至少提高了75%和3.5倍，證明了該方法的有效性。
0引言
　　熱電偶成本低廉、現場(chǎng)適應性好，在工程領(lǐng)域應用廣泛。但熱電偶在動(dòng)態(tài)溫度測量時(shí)存在明顯的滯后特性。為了保證動(dòng)態(tài)溫度測量的可靠性和正確性，需要對熱電偶滯后特性進(jìn)行評估，一般以時(shí)間常數進(jìn)行量化表征。一般地，時(shí)間常數估計基于專(zhuān)用的動(dòng)態(tài)校準裝置實(shí)現。溫度動(dòng)態(tài)校準裝置要求可以產(chǎn)生快速階躍變化的激勵信號，保證激勵信號可溯源，并且保證校準介質(zhì)條件與熱電偶測試介質(zhì)條件一致[5,6]。研制可靠的熱電偶動(dòng)態(tài)校準裝置往往具有較大難度，而且難以保證熱電偶校準和測試介質(zhì)條件的一致性。為了解決上述問(wèn)題，發(fā)展出一系列的時(shí)間常數現場(chǎng)原位估計方法。其中較為典型的是基于測量同一物理點(diǎn)的兩支不同偶絲直徑熱電偶的動(dòng)態(tài)溫度響應信號，解算各熱電偶時(shí)間常數的評估方法。該方法于1936年首次由Pfriem提出。Tagawaet.al.通過(guò)計算兩個(gè)激勵溫度信號相關(guān)函數的最大值來(lái)計算時(shí)間常數。另外，Hung等，提出β型廣義最小二乘估計方法，應用離散時(shí)間系統辨識方法對熱電偶進(jìn)行建模，然后通過(guò)模型參數解算時(shí)間常數。但是，當兩只熱電偶絲的直徑較為接近，會(huì )造成時(shí)域響應接近共線(xiàn)性，由奇異矩陣求解得到的時(shí)間常數通常出現病態(tài)解，同時(shí)β型廣義最小二乘估計方差隨著(zhù)噪聲水平的增長(cháng)而迅速增長(cháng)，導致返回不合理的時(shí)間常數估計值。
本文針對熱電偶級聯(lián)系統信息矩陣共線(xiàn)性病態(tài)問(wèn)題，提出一種差值級聯(lián)動(dòng)態(tài)
　　性能參數評估方法，基于總體最小二乘Tikhonov正則化算法評估測試系統模型參數，分析測試噪聲對估計結果的影響，同時(shí)基于奇異值分解的Tikhonov正則化優(yōu)化方法，擴展了級聯(lián)系統時(shí)間常數評估方法的適用性。對熱電偶時(shí)間常數估計方法做出了有益探索。
1動(dòng)態(tài)性能評估方法原理
1.1熱電偶級聯(lián)系統組成
　　級聯(lián)系統由三支不同絲徑熱電偶組成，各熱電偶盡可能靠近地安裝于同一位置測試點(diǎn)，獨立輸出。若忽略安裝位置偏差，可以認為在同一測試點(diǎn)各熱電偶受環(huán)境或其它因素影響是一致的，通過(guò)熱電偶響應之間差值計算，可以降低噪聲對模型參數辨識精度的影響。熱電偶輸出信號的差值作為級聯(lián)系統輸出信號。熱電偶一般可認為是一階動(dòng)態(tài)測試系統[18]，級聯(lián)系統原理框圖如圖1所示。將三支熱電偶溫度響應值互求差值，并建立數學(xué)模型，通過(guò)對模型參數的辨識估計，可以得到各熱電偶時(shí)間常數估計值。
 
　　將圖1中熱電偶響應信號和差值信號進(jìn)行離散化：
 
 
　　將式(3)中矩陣A稱(chēng)為熱電偶級聯(lián)系統的信息矩陣，向量Y稱(chēng)為觀(guān)測值向量,向量X稱(chēng)為待辨識參數向量。信息矩陣A列向量為各熱電偶響應信號的差值序列，可認為其中不含偏置誤差，偏置誤差僅存在于觀(guān)測值向量中，那么基于總體最小二乘法得到的參數估計值可以認為是無(wú)偏的?？傮w最小二乘解為：
 
　　式中：σn+1s+為增廣矩陣[AY]的第n+1個(gè)奇異值，I為單位陣。
　　總體最小二乘求解過(guò)程是一個(gè)降正則化的過(guò)程，在求解中可能會(huì )出現病態(tài)或不穩定的結果?；跀道斫y計理論的觀(guān)點(diǎn)，總體最小二乘在求解中可以通過(guò)減去1個(gè)系數誤差的近似協(xié)方差陣σ(n+I)來(lái)達到減小矩陣ATA中偏差的效果，進(jìn)而得到相對穩定的解[19]。在不等式約束條件下，建立Lagrange多項式：
 
　　式中：λ為L(cháng)agrange因子，δ為待辨識參數估計誤差，L為定義范數的矩陣。
　　通過(guò)式(5)求解參數X。當δ足夠小時(shí)，X滿(mǎn)足如下目標函數[20]：
 
　　基于式(10)可以得到辨識參數估計值，進(jìn)一步解算可得熱電偶時(shí)間常數估計值。
2測量噪聲對辨識精度影響的驗證分析
　　由于測量噪聲對于系統辨識是否能夠返回無(wú)偏估計具有重要影響，因此，需要對上述總體最小二乘正則化模型分析方法進(jìn)行理論驗證。分析正弦激勵信號和階躍激勵信號分別對于恒定時(shí)間常數和變化時(shí)間常數級聯(lián)系統的影響。其中，正弦信號波動(dòng)頻率設為0.1Hz。級聯(lián)系統時(shí)間常數分別設為τ1=0.0238s、τ2=0.38s、τ3=0.9578s。為了說(shuō)明測量噪聲水平對于算法結果的影響，定義信號噪聲水平K：
 
　　式中：QRMSE表示噪聲方差值，PRMSE表示信號均方差。對于給定的噪聲水平，算法性能通過(guò)時(shí)間常數相對誤差進(jìn)行評價(jià)：
 
2.1測量噪聲對恒定時(shí)間常數級聯(lián)系統的影響
　　在級聯(lián)系統響應信號加入零均值、等方差的高斯序列噪聲，分析噪聲水平對于各算法的性能影響。熱電偶傳遞函數相當于單位增益的低通濾波器，同時(shí)加入的噪聲是不相關(guān)的。仿真時(shí)間持續均為5s，采樣頻率為50Hz。在正弦激勵信號和理想階躍激勵信號情況下，分別運用TLS-Tikhonov算法對時(shí)間常數進(jìn)行估計，時(shí)間常數殘差點(diǎn)分布分別如圖2和圖3所示。
 
 
　　由圖2，圖3可以看出：在正弦和階躍激勵信號條件下，時(shí)間常數的殘差均在±3×10-3范圍內，具有較高的辨識精度。為了進(jìn)一步對TLS-Tikhonov算法性能進(jìn)行評估，將普通最小二乘法(leastsquares,LS)估計與TLS-Tikhonov算法估計隨噪聲水平的變化情況分別在正弦與階躍激勵信號條件下進(jìn)行比較，如圖4和圖5所示。

　　由圖4和圖5可以看出，在K=0時(shí)，TLS-Tikhonov算法與LS算法差異相對較小，隨噪聲水平的增加，TLS-Tikhonov算法時(shí)間常數估計精度明顯優(yōu)于LS算法。這是由于LS算法的信息矩陣A存在偏置誤差，從而造成估計值有偏，且與噪聲呈正相關(guān)關(guān)系。因此，對于有測量噪聲影響的恒定時(shí)間常數級聯(lián)系統，TLS-Tikhonov算法具有較高的辨識精度。
2.2測量噪聲對變化時(shí)間常數級聯(lián)系統的影響
　　假設級聯(lián)系統熱電偶時(shí)間常數變化規律如下：
 
　　式中：τ1(0)=0.0238s，τ2t(0)=0.38s，3t(0)=0.9578s。
　　正弦與階躍激勵信號情況下，K=2測量噪聲水平對時(shí)間常數誤差影響曲線(xiàn)分別如圖6，圖7所示：
 
　　如圖6和圖7所示，對于正弦激勵信號情況：在各誤差曲線(xiàn)初始階段，時(shí)間常數誤差值隨著(zhù)時(shí)間常數增大有減小趨勢，且變化不同步。其原因在于，隨著(zhù)時(shí)間常數逐漸增大，各熱電偶溫度響應序列相關(guān)系數逐漸達到最小值，但是由于其變化過(guò)程不同步，導致各熱電偶時(shí)間常數辨識結果達到最小值過(guò)程不同步；對于階躍激勵信號情況：基于TLS-Tikhonov算法，時(shí)間常數τ1估計結果很快發(fā)散，且時(shí)間常數τ2和τ3辨識精度也較差。這是由于階躍激勵信號信息矩陣A存在突變量值，產(chǎn)生了較大的矩陣條件數。按照陳希孺等[22]給出的檢驗標準，cond(A)<100，認為無(wú)病態(tài)；100<cond(A)<1000，病態(tài)中等程度或較強；cond(A)>1000，有嚴重病態(tài)性。時(shí)間常數τ1條件數變化趨勢如圖8所示：
 
　　當τ1＞0.1s，法矩陣即存在嚴重病態(tài)性，利用最小二乘類(lèi)回歸方法必然估計值不收斂，因此圖7中時(shí)間常數τ1相較于τ2，τ3發(fā)散較快。因此，對于有測量噪聲影響的變化時(shí)間常數級聯(lián)系統，TLS-Tikhonov算法的辨識能力并不理想，需要進(jìn)行算法的改進(jìn)。
2.3基于奇異值分解的Tikhonov正則化優(yōu)化方法
　　當級聯(lián)系統中各熱電偶偶絲直徑趨于一致時(shí)，級聯(lián)系統信息矩陣A各列向量之間會(huì )出現嚴重互相關(guān)情況，從而導致熱電偶時(shí)間常數估計病態(tài)嚴重。本文利用Tikhonov正則化方法，增加全部或部分參數加權平方和極小的條件，克服不適定性[23]，從而使解唯一且穩定。即用相鄰的適定問(wèn)題的解去逼近原問(wèn)題的解，并利用奇異值分解（singularvaluedecomposition,SVD）對于求廣義逆的便利性，對病態(tài)矩陣參數進(jìn)行估計。構造準則函數：
 
　　用是將不適定問(wèn)題轉化為適定問(wèn)題；a是正則化參數，起著(zhù)平衡aM右邊兩項的作用。隨著(zhù)穩定泛函W(X)的不同，有不同的準則函數；同時(shí)正則化參數a選擇也十分重要，穩定泛函W(X)一般選為：
 
　　對于熱電偶級聯(lián)系統信息矩陣A各列向量中，不存在復共線(xiàn)性的，用矩陣A1表示，其余列向量用矩陣A2表示，即：
  
　　正則化參數使用L曲線(xiàn)法計算：以‖AX−Y‖p為橫坐標，以‖X‖H為縱坐標畫(huà)圖，得到一條擬合曲線(xiàn)，曲線(xiàn)上曲率最大的那個(gè)點(diǎn)對應的值作為所求參數估計值[24]。令¢=log‖Y−AX(ɑ)‖，θ=log‖X(ɑ)，則曲線(xiàn)的曲率為參數ɑ的函數，有：
 
　　基于理想階躍激勵信號，在追求參數解的模極小和殘差的模極小的過(guò)程中，強調的是‖AX−L‖P和‖HX‖H之間的平衡，而這個(gè)平衡點(diǎn)由ɑ來(lái)決定。
3參數辨識算法的驗證分析
3.1仿真驗證分析
　　為評估階躍激勵信號條件下，測量噪聲對變化時(shí)間常數級聯(lián)系統的影響，將LS、TLS-Tikhonov、Tikhonov-SVD算法對式(13)所述時(shí)間常數估計值偏差列入表1。
 
　　如表1所示結果，利用Tikhonov-SVD方法時(shí)間常數估計值與真值偏差相較于LS算法與TLS-Tikhonov算法有明顯的改善。另一個(gè)角度說(shuō)明，通過(guò)Tikhonov-SVD方法，可以拓寬級聯(lián)系統關(guān)于熱電偶絲物理條件一致性的使用條件限制，但是隨著(zhù)噪聲水平的提高，Tikhonov-SVD算法辨識估計結果，以τ2估計結果為例，偏差呈上升趨勢。
3.2實(shí)驗驗證分析
　　算法實(shí)驗驗證是基于激勵信號先驗知識可獲取的動(dòng)態(tài)校準裝置上實(shí)現的，依據動(dòng)態(tài)校準裝置激勵信號溯源評估結果，可以得到時(shí)間常數的可靠評估結果，并以此作為算法性能的評價(jià)依據。驗證試驗采用的動(dòng)態(tài)校準裝置如圖9所示，裝置組成部分包括：高壓段腔體、低壓段腔體、真空泵、軸流風(fēng)機、電加熱器、鋁箔膜片、保溫隔熱裝置[25]。
 
　　熱電偶級聯(lián)系統由三支K型熱電偶組成，熱電偶偶絲直徑分別為d1=0.02mm、d2=0.3mm、d3=0.8mm。為了保證級聯(lián)系統熱電偶對同一物理點(diǎn)進(jìn)行測試，將三支熱電偶封裝于同一殼體內，封裝結構如圖10所示。
 
　　熱電偶級聯(lián)系統安裝于低壓段腔體，為了使腔體內流體速度恒定在腔體出口處安裝節流噴嘴。高壓段腔體為一密閉回型腔體，在腔體內部安裝了電加熱器和內置軸流風(fēng)機，通過(guò)軸流風(fēng)機和電加熱器的綜合作用，實(shí)現腔體內氣體循環(huán)加熱，從而在腔體內產(chǎn)生溫度均勻的高溫氣體。為了保證加熱效率和防護安全，在高壓段外裹覆有保溫絕熱層。
　　首先對高壓段腔體加壓至額定值，運行軸流風(fēng)機為低壓段腔體內氣體循環(huán)流動(dòng)提供動(dòng)力。通過(guò)在高壓段腔體內均勻分布的電加熱器對腔內氣體加熱，當溫度、壓力達到額定值，開(kāi)啟真空泵，使得低壓段腔體出口處的鋁箔膜片自然破裂，產(chǎn)生階躍溫度激勵信號，作用于熱電偶級聯(lián)系統上，為了使高溫氣體持續對熱電偶產(chǎn)生溫度激勵，在開(kāi)啟真空泵的同時(shí)打開(kāi)空氣壓縮機，保持低壓段腔體內高壓，記錄傳感器響應情況，響應結果如圖11所示，整個(gè)實(shí)驗持續時(shí)間42s，采樣頻率為100Hz。
 
　　基于動(dòng)態(tài)校準裝置激勵信號和級聯(lián)系統響應信號，通過(guò)頻域建模法可以對時(shí)間常數進(jìn)行可靠估計，并以此作為時(shí)間常數的評價(jià)基準，LS、TLS-Tikhonov、Tikhonov-SVD算法對時(shí)間常數估計結果表2所示。
 
　　如表2所示，LS算法由于受到測量噪聲影響較為嚴重，τ1、τ2返回值為非合理值；TLS-Tikhonov算法性能與時(shí)間常數的差異性條件與熱電偶響應誤差等有密切關(guān)系，而實(shí)驗中熱電偶絲直徑d1與d2較為接近，所得估計結果由于信息矩陣共線(xiàn)性病態(tài)嚴重，時(shí)間常數估計值τ1返回值為非合理值；Tikhonov-SVD算法時(shí)間常數估計結果與頻域建模評估結果吻合程度較高。以τ3返回值為考核對象，Tikhonov-SVD算法時(shí)間常數估計相對誤差相比TLS-Tikhonov算法和LS算法，辨識精度分別提高了75%和3.5倍。
因此，通過(guò)Tikhonov-SVD算法對時(shí)間常數進(jìn)行估計，可以得到較為理想的估計結果。
4結論
　　本文提出了基于TLS-Tikhonov算法的熱電偶時(shí)間常數估計方法。通過(guò)建立級聯(lián)系統數學(xué)模型，由模型參數辨識方法實(shí)現時(shí)間常數估計。文中運用TLS-Tikhonov算法來(lái)處理模型信息矩陣受到噪聲污染的情況，同時(shí)研究噪聲水平分別對恒定時(shí)間常數及變化時(shí)間常數估計的精度影響。由于級聯(lián)系統信息矩陣共線(xiàn)性的問(wèn)題，時(shí)間常數估計出現嚴重病態(tài)結果，同時(shí)由于測量噪聲的存在，避免產(chǎn)生時(shí)間常數相似性造成病態(tài)估計問(wèn)題的條件將更為苛刻?；赥ikhonov-SVD方法可以對上述問(wèn)題進(jìn)行有效改善。通過(guò)數值仿真和動(dòng)態(tài)校準實(shí)驗，分別對LS方法、TLS-Tikhonov方法和Tikhonov-SVD方法的時(shí)間常數評估結果進(jìn)行評價(jià)，結果表明，TLS-Tikhonov方法對于響應信號受到噪聲污染的情況比LS方法具有更高的辨識精度，Tikhonov-SVD方法對于熱電偶物理特性相近造成的信息矩陣共線(xiàn)性情況比TLS-Tikhonov方法具有更高的辨識精度。因此，在實(shí)踐中熱電偶時(shí)間常數評估Tikhonov-SVD方法具有更好的適用性。